tìm các giá trị của m để hàm số sau
a) \(y=-x^3-\left(m+1\right)x^2+3\left(m+1\right)x\) nghịch biến trên R
b) \(y=-\dfrac{1}{3}x^3+mx^2-\left(2m+3\right)x\) nghịch biến trên R
a: \(y=-x^3-\left(m+1\right)x^2+3\left(m+1\right)x\)
=>\(y'=-3x^2-\left(m+1\right)\cdot2x+3\left(m+1\right)\)
=>\(y'=-3x^2+x\cdot\left(-2m-2\right)+\left(3m+3\right)\)
Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-2m-2\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\left(3m+3\right)< =0\\-3< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(4m^2+8m+4+12\left(3m+3\right)< =0\)
=>\(4m^2+8m+4+36m+36< =0\)
=>\(4m^2+44m+40< =0\)
=>\(m^2+11m+10< =0\)
=>\(\left(m+1\right)\left(m+10\right)< =0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1>=0\\m+10< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=-1\\m< =-10\end{matrix}\right.\)
=>\(m\in\varnothing\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+1< =0\\m+10>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =-1\\m>=-10\end{matrix}\right.\)
=>-10<=m<=-1
b: \(y=-\dfrac{1}{3}x^3+mx^2-\left(2m+3\right)x\)
=>\(y'=-\dfrac{1}{3}\cdot3x^2+m\cdot2x-\left(2m+3\right)\)
=>\(y'=-x^2+2m\cdot x-\left(2m+3\right)\)
Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}-1< 0\\\left(2m\right)^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-2m-3\right)< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(4m^2+4\left(-2m-3\right)< =0\)
=>\(m^2-2m-3< =0\)
=>(m-3)(m+1)<=0
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m-3>=0\\m+1< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=3\\m< =-1\end{matrix}\right.\)
=>\(m\in\varnothing\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m-3< =0\\m+1>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =3\\m>=-1\end{matrix}\right.\)
=>-1<=m<=3
tìm các giá trị của m để hàm số sau
a) \(y=-x^3-3x^2+\left(5-m\right)x\) nghịch biến trên R
b) \(y=x^3+\left(2m-2\right)x^2+mx\) đồng biến trên R
a: \(y=-x^3-3x^2+\left(5-m\right)x\)
=>\(y'=-3x^2-3\cdot2x+5-m\)
=>\(y'=-3x^2-6x+5-m\)
Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(-6\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\left(5-m\right)< =0\\-3< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(36+12\left(5-m\right)< =0\)
=>\(36+60-12m< =0\)
=>\(-12m+96< =0\)
=>-12m<=-96
=>m>=8
b: \(y=x^3+\left(2m-2\right)\cdot x^2+mx\)
=>\(y'=3x^2+2\left(2m-2\right)\cdot x+m\)
=>\(y'=3x^2+\left(4m-4\right)x+m\)
Để hàm số đồng biến trên R thì y'>=0 với mọi x
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}3>0\\\left(4m-4\right)^2-4\cdot3\cdot m< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(16m^2-32m+16-12m< =0\)
=>\(16m^2-44m+16< =0\)
=>\(4m^2-11m+4< =0\)
=>\(\dfrac{11-\sqrt{57}}{8}< =m< =\dfrac{11+\sqrt{57}}{8}\)
tìm các giá trị của m để hàm số sau
a) \(y=-x^3+\left(m+2\right)x^2-3x\) nghịch biến trên R
b) \(y=x^3-3x^2+\left(1-m\right)x\) đồng biến trên R
a: \(y=-x^3+\left(m+2\right)x^2-3x\)
=>\(y'=-3x^2+2\left(m+2\right)x-3\)
=>\(y'=-3x^2+\left(2m+4\right)\cdot x-3\)
Để hàm số nghịch biến trên R thì \(y'< =0\forall x\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2m+4\right)^2-4\cdot\left(-3\right)\left(-3\right)< =0\\-3< 0\end{matrix}\right.\)
=>\(4m^2+16m+16-4\cdot9< =0\)
=>\(4m^2+16m-20< =0\)
=>\(m^2+4m-5< =0\)
=>\(\left(m+5\right)\left(m-1\right)< =0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m+5>=0\\m-1< =0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=-5\\m< =1\end{matrix}\right.\)
=>-5<=m<=1
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m+5< =0\\m-1>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=1\\m< =-5\end{matrix}\right.\)
=>\(m\in\varnothing\)
b: \(y=x^3-3x^2+\left(1-m\right)x\)
=>\(y'=3x^2-3\cdot2x+1-m\)
=>\(y'=3x^2-6x+1-m\)
Để hàm số đồng biến trên R thì \(y'>=0\forall x\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< =0\\a>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}3>0\\\left(-6\right)^2-4\cdot3\left(1-m\right)>=0\end{matrix}\right.\)
=>\(36-12\left(1-m\right)>=0\)
=>\(36-12+12m>=0\)
=>12m+24>=0
=>m+2>=0
=>m>=-2
cho hàm số \(y=\left(m^2-3m+2\right).x^2+\left(m-1\right)x+3.\)( m là tham số)
a) tìm m để hàm số trên là hàm số bậc nhất
b)tìm m để hàm số trên đồng biến, nghịch biến
a)Để y là hàm số bậc nhất thì
\(\hept{\begin{cases}m^2-3m+2=0\\m-1\ne0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(m-1\right)\left(m-2\right)=0\\m-1\ne0\end{cases}}}\)
Từ 2 điều trên suy ra m-2=0
=>m=2
Vậy m=2
Cho hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3+mx^2+\left(m-2\right)x-\frac{1}{3}\left(1\right)\), với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4
Ta có : \(y'=-x^2+2mx+m-2\Rightarrow\Delta'=m^2+m-2\)
Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4 <=> phương trình y' =0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) và thỏa mãn :
\(\left|x_1-x_2\right|=4\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'>0\\\left|x_1-x_2\right|=4\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+m-2>0\\\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2=16\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+m-2>0\\4m^2+4\left(m-2\right)=16\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=2\) hoặc \(m=-3\)
Kết luận \(m=2\) hoặc \(m=-3\) thì hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 4
Bài 3: Cho hàm số: y = \(\left(m^2-4\right)\).x + 3m - 1 (m \(\ne\) \(\pm\) 2)
a) Tìm m để hàm số đồng biến
b) Tìm m để hàm số nghịch biến
Bài 3: Cho hàm số: y = \(\left(m^2-4\right)\).x + 3m - 1 (m \(\ne\) \(\pm\) 2)
a) Tìm m để hàm số đồng biến
b) Tìm m để hàm số nghịch biến
a: Để hàm số đồng biến trên R thì \(m^2-4>0\)
=>\(m^2>4\)
=>\(\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\)
b: Để hàm số nghịch biến trên R thì \(m^2-4< 0\)
=>\(m^2< 4\)
=>-2<m<2
a) Hàm số y = (3m - 1)x + 2 với m ≠≠ 1313
Vậy m > 1313 nghịch biến
⇔ 3m - 1 < 0
⇔ 3m < 1
⇔ m < 1313 thì hàm số y = (3m - 1)x + 2 nghịch biến
c) Đồ thị hàm số y = (3m - 1)x + 2 với m ≠≠ 1313)
⇔ 3 = 6m - 2 + 2
⇔ 3 = 6m
⇔ m = 1212 thì đồ thị hàm số y = (3m - 1)x + 2 đi qua điểm A(2; 3)
a) Hàm số đồng biến khi:
m² - 4 > 0
⇔ m² > 4
⇔ m < -2 hoặc m > 2
Vậy m < -2; m > 2 thì hàm số đồng biến
b) Hàm số nghịch biến khi:
m² - 4 < 0
⇔ m² < 4
⇔ -2 < m < 2
Vậy -2 < m < 2 thì hàm số nghịch biến
Cho hàm số \(y=-x^3+\left(m+1\right)x^2+m\left(m-3\right)x-\frac{1}{3}\left(1\right)\), với m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\)\(\Rightarrow y'\le0,x\in\left(1;+\infty\right)\) (*)
Trường hợp 1 : Nếu \(\Delta'\le0\Leftrightarrow4m^2-7m+1\le0\Leftrightarrow\frac{7-\sqrt{33}}{8}\le m\le\frac{7+\sqrt{33}}{8}\) thì theo định lí về dấu tam thức bậc 2 ta có \(y'\le0,x\in R\Rightarrow\) (*) luôn đúng.
Trường hợp 2 : Nếu \(\Delta'>0\Leftrightarrow4m^2-7m+1>0\Leftrightarrow m\le\frac{7-\sqrt{33}}{8}\) hoặc \(m\ge\frac{7+\sqrt{33}}{8}\)thì (*) đúng
\(\Leftrightarrow\) phương trình y'=0 có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) mà \(x_1<\)\(x_2\) và thỏa mãn x1 < x2 <= 1
\(\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{5}}{2}\le m\le\frac{7-\sqrt{33}}{8}\) hoặc \(\frac{7-\sqrt{33}}{8}\le m\le\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)
Kết hợp trường hợp 1 và trường hợp 2 ta có
\(\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{5}}{2}\le m\le\frac{7-\sqrt{33}}{8}\)
hoặc \(\frac{7-\sqrt{33}}{8}\le m\le\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) thì hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\)
tìm m để hàm số \(y=\dfrac{-x^3}{3}+\left(m-2\right)x^2-m\left(m-3\right)x-\dfrac{1}{3}\) nghịch biến trên \(\left(1;+\infty\right)\)
\(y'=-x^2+2\left(m-2\right)x-m^2+3m\)
\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-m^2+3m=4-m\)
TH1: \(\Delta'\le0\Rightarrow m\ge4\Rightarrow y'\le0\) ; \(\forall x\) hàm nghịch biến trên R (thỏa mãn)
TH2: \(m< 4\) , bài toán thỏa mãn khi:
\(x_1< x_2\le1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1\ge0\\x_1+x_2< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-3m-\left(2m-4\right)+1\ge0\\2m-4< 2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-5m+5\ge0\\m< 3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\le\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\ge4\\m\le\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)
